题目内容

【题目】已知函数

(1)当时,求曲线在点处的切线方程;

(2)讨论函数的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)欲求曲线在点处的切线方程,只需求出斜率和和的值,即可利用直线的点斜式方程求解切线的方程;

(2)求出通过讨论的取值范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可,可分两种情况,求出函数的单调区间,得出函数的极值.

试题解析:

(1)时,

所以

因此曲线在点处的切线方程是

(2)

①当时,恒成立,

所以当单调递减

时,单调递增

所以当时,取极小值

②当时,由

(ⅰ)当,即

所以上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故时,取极大值时,取极小值

(ⅱ)当,即时,恒成立

此时函数上单调递增,函数无极值

(ⅲ)当,即

所以上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故时,取极大值

时,取极小值.

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