题目内容
【题目】已知函数().
(1)若,求函数的极值.
(2)若在有唯一的零点,求的取值范围.
(3)若,设,求证: 在内有唯一的零点,且对(2)中的,满足.
【答案】(1)有极小值,无极大值 (2) (3)证明见解析
【解析】试题分析:
(1)首先求得导函数,然后利用导函数的符号确定原函数的单调性可得有极小值,无极大值.
(2)对函数求导后令设.结合二次函数的性质分类讨论可得的取值范围是
(3) 设,则,换元可得,利用导函数研究函数零点所在的区间即可证得题中的结论.
试题解析:
(1)当时, , ,
.
由,令,得.
当变化时, , 的变化如下表:
0 | |||
极小值 |
故函数在单调递减,在单调递增,
有极小值,无极大值.
(2)解法一: ,
令,得,设.
则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点
当时,方程的解为,满足题意;
当时,由函数图象的对称轴,函数在上单调递增,
且, ,所以满足题意;
当, 时, ,此时方程的解为,不符合题意;
当, 时,由,
只需,得.
综上, .
(说明: 未讨论扣1分)
解法二: ,
令,由,得.
设,则, ,
问题转化为直线与函数的图象在恰有一个交点问题.
又当时, 单调递增,
故直线与函数的图象恰有一个交点,当且仅当.
(3)设,则,
,
,
由,故由(2)可知,
方程在内有唯一的解,
且当时, , 单调递减;
时, , 单调递增.
又,所以.
取,
则
,
从而当时, 必存在唯一的零点,且,
即,得,且,
从而函数在内有唯一的零点,满足.
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