题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)若,求函数
的极值.
(2)若在
有唯一的零点
,求
的取值范围.
(3)若,设
,求证:
在
内有唯一的零点
,且对(2)中的
,满足
.
【答案】(1)有极小值
,无极大值 (2)
(3)证明见解析
【解析】试题分析:
(1)首先求得导函数,然后利用导函数的符号确定原函数的单调性可得有极小值
,无极大值.
(2)对函数求导后令设.结合二次函数的性质分类讨论可得
的取值范围是
(3) 设,则
,换元可得
,利用导函数研究函数零点所在的区间即可证得题中的结论.
试题解析:
(1)当时,
,
,
.
由,令
,得
.
当变化时,
,
的变化如下表:
0 | |||
极小值 |
故函数在
单调递减,在
单调递增,
有极小值
,无极大值.
(2)解法一: ,
令,得
,设
.
则在
有唯一的零点
等价于
在
有唯一的零点
当时,方程的解为
,满足题意;
当时,由函数
图象的对称轴
,函数
在
上单调递增,
且,
,所以满足题意;
当,
时,
,此时方程的解为
,不符合题意;
当,
时,由
,
只需,得
.
综上, .
(说明: 未讨论扣1分)
解法二: ,
令,由
,得
.
设,则
,
,
问题转化为直线与函数
的图象在
恰有一个交点问题.
又当时,
单调递增,
故直线与函数
的图象恰有一个交点,当且仅当
.
(3)设,则
,
,
,
由,故由(2)可知,
方程在
内有唯一的解
,
且当时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
又,所以
.
取,
则
,
从而当时,
必存在唯一的零点
,且
,
即,得
,且
,
从而函数在
内有唯一的零点
,满足
.
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