题目内容

10.已知F1和F2分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该双曲线的离心率为(  )
A.$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$B.$\sqrt{3}-1$C.$\sqrt{3}+1$D.2

分析 连接AF1,可得∠AF2F1=30°,∠F1AF2=90°,F2F1=2c,AF1=c,AF2=$\sqrt{3}$c,由双曲线的定义可知:AF2-AF1=$\sqrt{3}$c-c=2a,变形可得离心率的值.

解答 解:连接AF1,可得∠AF2F1=30°,∠F1AF2=90°,
由焦距的意义可知F2F1=2c,AF1=c,
由勾股定理可知AF2=$\sqrt{3}$c,
由双曲线的定义可知:AF2-AF1=2a,即$\sqrt{3}$c-c=2a,
变形可得双曲线的离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1
故选:C.

点评 本题考查双曲线的性质,涉及直角三角形的性质,属中档题.

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