设f0(x)=cosx.f1(x)=f0′(x).f2(x)=f1′(x).-.fn+1(x)=fn′.则 f2012(x)=cosx．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

20．设f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（n∈N），则 f₂₀₁₂（x）=cosx．

分析由导数的运算求解前几个，可得周期为4的特点，可化f₂₀₁₂（x）=f₀（x），问题得以解决．

解答解：∵f₀（x）=cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=cosx
…
可得f_n（x）的解析式重复出现，周期为4．
∴f₂₀₁₂（x）=f_4×503（x）=f₀（x）=cosx，
故答案为：cosx．

点评本题考查函数求导运算，得出周期性是解决问题的关键，属基础题．

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