题目内容

19.已知f1(x)=sinx,fn+1(x)=fn(x)•fn′(x),其中fn′(x)是fn(x)的导函数(n∈N*),设函数
fn(x)的最小正周期是Tn
(1)Tn=$\frac{π}{{2}^{n-2}}$;
(2)若T1+T2+T3+…+Tn<k恒成立,则实数k的最小值是4π.

分析 (1)先找到规律,得到fn(x)=fn-1(x)•fn-1′(x)=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$sin(2n-1x),再根据周期公式计算即可;
(2)根据等比数列的前n项和公式,即可求出k的最小值.

解答 解:(1)fn+1(x)=fn(x)•fn′(x),
f1(x)=sinx,
∴f2(x)=f1(x)f1′(x)=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x,
f3(x)=f2(x)f2′(x)=$\frac{1}{2}$sin2xcos2x=$\frac{1}{4}$sin4x,
f4(x)=f3(x)f3′(x)=$\frac{1}{4}$sin4xcos4x=$\frac{1}{8}$sin8x,
…,
fn(x)=fn-1(x)•fn-1′(x)=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$sin(2n-1x),
∴Tn=$\frac{2π}{{2}^{n-1}}$=$\frac{π}{{2}^{n-2}}$,
(2)T1+T2+T3+…+Tn=2π+π+$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$+…+$\frac{π}{{2}^{n-2}}$=π($\frac{2(1-{2}^{-n})}{1-\frac{1}{2}}$)=4π(1-2-n)<4π,
∴实数k的最小值是4π.
故答案为(1)$\frac{π}{{2}^{n-2}}$,(2)4π.

点评 本题考查导数的应用以及归纳推理和等比数列的求和公式,属于中档题.

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