Question

一个等比数列的前n项之和是2ⁿ-b，那么它的前n项的各项平方之和为（　　）

A．（2n-1）2

B． 1 3 （2n-1）

C．4n-1

D． 1 3 （4n-1）

Answer 1

设该等比数列为{a_n}，前n项和为S_n=2ⁿ-b，
则a₁=2-b，a₂=S₂-S₁=2，a₃=S₃-S₂=4，
∴2²=（2-b）×4，解得b=1，
∴该数列的首项为1，公比为2，
∴an=2n-1，则an2=22n-2，
又

an+12

an2

=

22n

22n-2

=4（常数），
∴{an2}是首项为1，公比为4的等比数列，
∴原等比数列的前n项的各项平方之和为：1²+2²+4²+…+2^2n-2=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故选D．