Question

5．已知p：关于x的不等式${∫}_{0}^{x}$（2t+1）dt-m＞0对任意x∈[1，2]恒成立；q：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{x-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，不等式f（m²）＞f（m+2）成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析 先根据定积分求解方法，函数f（x）的单调性求出p，q下的m的取值范围，然后根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以有p真q假，和p假q真两种情况，求出每种情况的m的取值范围再求并集即可

解答 解：p：${∫}_{0}^{x}$（2t+1）dt=（t²+t）|${\;}_{0}^{x}$=x²+x；
∴x²+x-m＞0在x∈[1，2]上恒成立；
∴m＜x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$对任意x∈[1，2]恒成立；
∴函数x²+x在[1，2]上单调递增，
∴该函数的最小值为2；
∴m＜2；
q：由f（x）解析式知函数y=x²在[0，+∞）上单调递增，y=x-1在（-∞，0）上单调递增，且x-1＜0，x²≥0；
∴函数f（x）在R上是增函数；
∴由f（m²）＞f（m+2）得m²＞m+2，解得m＜-1，或m＞2；
若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假；
∴p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{-1≤m≤2}\end{array}\right.$，
∴-1≤m＜2；
p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m＜-1，或m＞2}\end{array}\right.$，
∴m＞2；
∴m的取值范围为[-1，2）∪（2，+∞）．

点评 考查定积分的计算，二次函数的单调性，一次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，p∨q．p∧q真假和p，q真假的关系，属于中档题．