Question

15．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若∠B=2∠A，且a：b=1：$\sqrt{3}$，则cos2B的值是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由正弦定理并且计划统一可得：sinA：sinB=1：$\sqrt{3}$，又∠A：∠B=1：2，所以sinA：sin2A=1：$\sqrt{3}$，在利用二倍角公式进行化简可得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而求出答案．

解答 解：因为由已知可得：a：b=1：$\sqrt{3}$，并且由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
所以sinA：sinB=1：$\sqrt{3}$，
又因为∠A：∠B=1：2，
所以sinA：sin2A=1：$\sqrt{3}$，
所以cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以A=30°，则B=60°，
所以cos2B=-$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查正弦定理，以及利用二倍角公式求三角函数值，此题属于基础题．