Question

5．已知圆C的方程为x²+（y-4）²=4，点O是坐标原点，直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）求弦MN中点G的轨迹方程，并求出轨迹的长度；
（3）设Q（m，n）是线段MN上的点，且$\frac{2}{{|OQ{|^2}}}=\frac{1}{{|OM{|^2}}}+\frac{1}{{|ON{|^2}}}$，请将n表示为m的函数，并求其定义域．

Answer 1

分析 （1）将y=kx代入x²+（y-4）²=4，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，可得k的范围；
（2）由OG⊥OM，可得G在以OC为直径的圆上，求得所求轨迹方程，再由两圆的方程相减可得交点坐标，求得弦长，可得圆心角，进而得到轨迹长度；
（3）设出M，N的坐标，求得|OM|，|OQ|，|ON|的长，运用韦达定理，化简整理，注意k的范围的运用，即可得到所求函数式．

解答 解：（1）将y=kx代入x²+（y-4）²=4中，
得（1+k²）x²-8kx+12=0．（*）
由△=（-8k）²-4（1+k²）×12＞0，得k²＞3．
所以，k的取值范围是（-∞，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）．
（2）由OG⊥OM，可得G在以OC为直径的圆上，
由C（0，4），可得所求圆的圆心为（0，2），半径为2，
即轨迹方程x²+（y-2）²=4 （在已知圆内），
由x²+（y-4）²=4和x²+（y-2）²=4，相减可得，y=3，
求得交点为（$\sqrt{3}$，3），（-$\sqrt{3}$，3），弦长为2$\sqrt{3}$，由圆的半径为2，
可得圆心角为$\frac{2π}{3}$，则所求轨迹长度为$\frac{4π}{3}$；
（3）因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），
则|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，
又|OQ|²=m²+n²=（1+k²）m²．
由$\frac{2}{{|OQ{|^2}}}=\frac{1}{{|OM{|^2}}}+\frac{1}{{|ON{|^2}}}$，得$\frac{2}{{（1+{k^2}）{m^2}}}=\frac{1}{{（1+{k^2}）{x_1}^2}}+\frac{1}{{（1+{k^2}）{x_2}^2}}$，
即$\frac{2}{m^2}=\frac{1}{{{x_1}^2}}+\frac{1}{{{x_2}^2}}=\frac{{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}^2{x_2}^2}}$．
由（*）式可知，x₁+x₂=$\frac{8k}{{1+{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{12}{{1+{k^2}}}$，所以${m^2}=\frac{36}{{5{k^2}-3}}$．
因为点Q在直线y=kx上，
所以$k=\frac{n}{m}$，代入${m^2}=\frac{36}{{5{k^2}-3}}$中并化简，得5n²-3m²=36．
由${m^2}=\frac{36}{{5{k^2}-3}}$及k²＞3，可知0＜m²＜3，即m∈（$-\sqrt{3}$，0）∪（0，$\sqrt{3}$）．
根据题意，点Q在圆C内，则n＞0，
所以$n=\sqrt{\frac{{36+3{m^2}}}{5}}=\frac{{\sqrt{15{m^2}+180}}}{5}$．
于是，n与m的函数关系为$n=\frac{{\sqrt{15{m^2}+180}}}{5}$（m∈（$-\sqrt{3}$，0）∪（0，$\sqrt{3}$））．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查轨迹方程的求法和函数的解析式的求法，注意联立直线方程和圆的方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．