Question

20．f（x）=ax²+2（a-1）x+2在（-∞，4]上单调递减，则a的取值范围是（　　）

• A． $a≤\frac{1}{5}$
• B． $a≥\frac{1}{5}$
• C． $0＜a≤\frac{1}{5}$
• D． $0≤a≤\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 对函数求导，函数在（-∞，2）上单调递减，可知导数在（-∞，2）上导数值小于等于0，可求出a的取值范围

解答 解：对函数求导y′=2ax+2（a-1），函数在（-∞，4]上单调递减，
则导数在（-∞，4]上导数值小于等于0，
当a=0时，y′=-2，恒小于0，符合题意；
当a≠0时，因函导数是一次函数，故只有a＞0，且最小值为y′=2a×4+2（a-1）≤0，
解得：0＜a≤$\frac{1}{5}$，
∴a∈[0，$\frac{1}{5}$]，
解法二、当a=0时，f（x）=-2x+2递减成立；
当a＞0时，对称轴为x=$\frac{1-a}{a}$，由题意可得：$\frac{1-a}{a}$≥4，解得0＜a≤$\frac{1}{5}$，
当a＜0不成立．
∴a∈[0，$\frac{1}{5}$]．
故选：D．

点评 本题主要二次函数的性质、考查函数的导数求解和单调性的应用，属于基础题．