题目内容
5.函数f(x)=$\frac{x^2+2x+a}{x}$在[$\frac{1}{2}$,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围为(-∞,$\frac{1}{4}$].分析 求函数的导数,利用导数和单调性之间的关系进行求解即可.
解答 解:函数f(x)=x+2+$\frac{a}{x}$,
则f′(x)=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$,
若函数在在[$\frac{1}{2}$,+∞)上是增函数,
则f′(x)≥0在[$\frac{1}{2}$,+∞)上恒成立,
即1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0,则a≤x2在[$\frac{1}{2}$,+∞)上恒成立,
∵在[$\frac{1}{2}$,+∞)上,x2≥$\frac{1}{4}$,
∴a≤$\frac{1}{4}$,
故答案为:(-∞,$\frac{1}{4}$]
点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,将函数单调性转化为f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立是解决本题的关键.
练习册系列答案
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