Question

16．设数列{a_n}是公差为d的等差数列，且a₅=6．
（1）若d∈N^*，其数列{a_n}中任意连续两项的和仍为数列{a_n}中的项，求d的值；
（2）若a₃＞1，且自然数n₁，n₂，…，n_t，…（t∈N^*）满足5＜n₁＜n₂＜…＜n₂＜…，使得a₃，a₅，a_n1，…，a_nt，…成等比数列，求a₃的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）求出数列的通项公式，假设任意连续两项的和a_n+a_n+1，进行比较即可得到结论．
（2）因为数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，且a₅=6，所以a_m=a₃+（m_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$（ m_t＞5，m_t∈N^*），又a_m=a₃（$\frac{6}{a3}$）^t+1，由此能够求出a₃的一切可能值．

解答 解：（1）a₅=6，
a_n=a₅+d（n-5）=6+d（n-5）
任意连续两项的和a_n+a_n+1=12+d（n-5+n+1-5）=12+d（2n-11）
因为数列{a_n}中任意连续两项的和仍为数列{a_n}中的项，
所以a_n+a_n+1=12+d（2n-11）=6+d（m-5），
即6+d（2n-11-m+5）=6+d（2n-m-6）=0，
则m=$\frac{6}{d}$+2n-6，
则因此d须为6的因数，因此只可能有d=1，2，3，6
但同时须有$\frac{6}{d}$+2n-6＞0，
若d=1，则不等式等价为6+2n-6=2n＞0，成立，
若d=2，则不等式等价为3+2n-6=2n-3＞0，当n=1时不成立，
若d=3，则不等式等价为2+2n-6=2n-4＞0，当n=1，2时不成立，
若d=6，则不等式等价为1+2n-6=2n-5＞0，当n=1，2时不成立，
因此只能取d=1．
（2）因为数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，且a₅=6，
所以a_n=a₃+（n_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$（ n_t＞5，n_t∈N*）
又a_n=a₃（$\frac{6}{a3}$）^t+1，
故a₃（$\frac{6}{a3}$）^t+1=a₃+（n_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$，
即$\frac{6t+1-a3t+1}{a3t}$=（n_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$，
故$\frac{（6-a3）（6t+6t-1a3+…+6a3t-1+a3t）}{a3t}$=（n_t-3）×$\frac{6-a3}{2}$．
由a₃≠a₅，所以a₃≠6．
n_t=5+2[（$\frac{6}{a3}$）^t+（$\frac{6}{a3}$）^t-1+…+（$\frac{6}{a3}$）]，t∈N*．
当t=1时，n₁=5+2×$\frac{6}{a3}$=5+$\frac{12}{a3}$．
由n₁∈N*，且a₃＞1，
则$\frac{12}{a3}$=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．
当t=2时，m₂=5+2×[（$\frac{6}{a3}$）²+$\frac{6}{a3}$]，
所以$\frac{12}{a3}$为奇数时，n₂不为整数，不符合．
所以，$\frac{12}{a3}$=2，4，6，8，10．从而a₃=6，3，2，$\frac{3}{2}$，$\frac{6}{5}$，
又因为数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，且a₃≠6．
所以a₃=3，2，$\frac{3}{2}$，$\frac{6}{5}$．经检验均满足题意．

点评 本题考查数列与不等式的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高．解题时认真审题，仔细解答．