题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是矩形,平面
平面
,
,
是
的中点,
,
.
(1)求证:;
(2)若二面角的正弦值为
,求四棱锥
的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(1)由几何关系可证得直线,
,
两两垂直.以
为坐标原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,设
.由空间向量的结论可证得
,则
.
(2)由(1)可得,
.由空间向量计算可得
.则四棱锥
的体积
.
详解:(1)设的中点为
,连接
,由四边形
是矩形,得
.
∵,
是
的中点,∴
.
∵平面平面
,平面
平面
,
∴平面
. ∴
. ∴直线
,
,
两两垂直.
以为坐标原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,设
.
依题意得,,
,
,
,
,
.
∴,
.∵
,
∴,即
.
(2)由(1)可得,
.
设平面的法向量为
,则
,
,
∴即
令,则
是平面
的一个法向量,同理可得
是平面
的一个法向量.设二面角
的大小为
,
则. ∴
,解得
.
∴四棱锥的体积
.
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练习册系列答案
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【题目】在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) | 300 | 500 |
概率 | 0.5 | 0.5 |
作物市场价格(元/kg) | 6 | 10 |
概率 | 0.4 | 0.6 |
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.