题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).在以原点
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
两点,求
.
【答案】(1),
;(2)
【解析】分析:解法一:(1)消去参数可得的普通方程为
,则极坐标方程为
.极坐标方程化为直角坐标方程可得
的直角坐标方程为
.
(2)设的极坐标分别为
,则
,联立极坐标方程可得
, 则
,结合三角函数的性质计算可得
.
解法二: (1)同解法一
(2)曲线表示圆心为
且半径为1的圆.联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得
,结合参数的几何意义知
, 则
解法三: (1)同解法一
(2)曲线表示圆心为
且半径为1的圆.
的普通方程为
, 由弦长公式可得
,则
是等边三角形,
,
.
详解:解法一:(1)由得
的普通方程为
,
又因为, 所以
的极坐标方程为
.
由得
,即
,
所以的直角坐标方程为
.
(2)设的极坐标分别为
,则
由消去
得
,
化为,即
,
因为,即
,所以
,或
,
即或
所以
.
解法二: (1)同解法一
(2)曲线的方程可化为
,表示圆心为
且半径为1的圆.
将的参数方程化为标准形式
(其中
为参数),代入
的直角坐标方程为
得,
,
整理得,,解得
或
.
设对应的参数分别为
,则
.所以
,
又因为是圆
上的点,所以
解法三: (1)同解法一
(2)曲线的方程可化为
,表示圆心为
且半径为1的圆.
又由①得的普通方程为
,
则点到直线
的距离为
,
所以,所以
是等边三角形,所以
,
又因为是圆
上的点,所以
.
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