题目内容
【题目】(题文)已知函数
(I)当时,求函数
的单调区间;
(II)当时,若对于区间
上的任意两个不相等的实数
,都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2).
【解析】分析:(I)将代入,求出
的解析式,求出
,求单调区间(II)求出
的单调性,将绝对值去掉后得
,构造新函数
,这样就知道了函数的单调性,分离参量求导,得实数
的取值范围
详解:(I)当时,
,定义域为
.
.
令得
,解得
,令
得
,解得
,
因此的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(II)不妨设.
因为,所以
,因此
在
上单调递增,即
.
又因为在
上也单调递增,所以
.
所以不等式即为
,
即,
设,即
,
则,因此
在
上单调递减.
于是在
上恒成立,
即在
上恒成立.
令,则
,
即在
上单调递增,因此
在
上的最小值为
,
所以,
故实数的取值范围是
.
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