题目内容
【题目】设函数,已知曲线
在点
处的切线与直线
平行
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在自然数,使得方程
在
内存在唯一的根?如果存在,求出
;如果不存在,请说明理由。
(Ⅲ)设函数(
表示
中的较小者),求
的最大值。
【答案】(1) .
(2) 时,方程
在
内存在唯一的根.证明见解析.
(3) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出f(x)的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程可得;(Ⅱ)求出
的导数和单调区间,最值,由零点存在定理,即可判断存在
;(Ⅲ)由(Ⅱ)求得
的解析式,通过
的最大值,即可得到所求.
试题解析:(Ⅰ)由题意知,曲线在点
处的切线斜率为
,所以
,
又所以
.
(Ⅱ)时,方程
在
内存在唯一的根.
设
当时,
.
又
所以存在,使
.
因为所以当
时,
,当
时,
,
所以当时,
单调递增.
所以时,方程
在
内存在唯一的根.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,方程在
内存在唯一的根
,且
时,
,
时,
,所以
.
当时,若
若由
可知
故
当时,由
可得
时,
单调递增;
时,
单调递减;
可知且
.
综上可得函数的最大值为
.
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练习册系列答案
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性别 | 男生 | 女生 | 男生 | 女生 |
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(I)求理科组恰好得4分的概率;
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