Question

4．已知p：x²+mx+1=0有两个不相等的负实数根，q：方程4x²+（4m-2）x+1=0无实数根．
（Ⅰ）若p为真，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据二次方程根的个数与系数的关系，构造关于m的不等式组，解得实数m的取值范围；
（Ⅱ）若p或q为真，p且q为假，p，q必为一真一假，分类讨论后，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵p：x²+mx+1=0有两个不相等的负实数根，
若p为真，则$\left\{{\begin{array}{l}{△={m^2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}}\right.$，
∴m＞2
（Ⅱ）若q为真，△=（4m-2）²-16＜0，
∴$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}$，
∵p或q为真，p且q为假，
∴p，q必为一真一假
①当p为真q为假时，
$\left\{{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤-\frac{1}{2}或m≥\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
∴m＞2
②当p为假q为真时，
$\left\{{\begin{array}{l}{m≤2}\\{-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
∴$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{3}{2}$
综上可知：$m∈（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）∪（{2，+∞}）$

点评 本题主要考查了p或q复合命题的真假的应用，解题的关键是利用二次方程根的个数与△的关系，准确求出命题p，q为真时m的范围．