Question

16．已知函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，g（x）=1-f（x）•f′（x）．
（1）求g（x）的最小正周期和对称轴；
（2）若不等式|g（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，图象的对称性求得g（x）的最小正周期和对称轴．
（2）由题意可得g（x）-2＜m＜g（x）+2横成立．再根据x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，从而得到m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
g（x）=1-（ sinx+$\sqrt{3}$cosx ）（cosx-$\sqrt{3}$sinx ）=1-（sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x+$\sqrt{3}$cos²x-3sinxcosx）
=1-（$\sqrt{3}$cos2x-sin2x）=1-2sin（$\frac{π}{3}$-2x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故g（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，可得函数g（x）的图象的对称轴为 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈z．
（2）由不等式|g（x）-m|＜2 横成立，可得-2＜m-g（x）＜2恒成立，即 g（x）-2＜m＜g（x）+2横成立．
再根据x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，g（x）∈[2，3]，
∴0＜m＜5．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性、定义域和值域，属于中档题．