Question

14．在△ABC中，AB=2，AC=1，$BC=\sqrt{7}$，D是边BC上一点，且DC=2DB，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$-\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用余弦定理求出∠B的度数，然后将所求利用三角形的边表示，利用数量积公式解答．

解答 解：因为在△ABC中，AB=2，AC=1，$BC=\sqrt{7}$，
所以cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB×BC}$=$\frac{4+7-1}{2×2×\sqrt{7}}$=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$，
所以$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{BC}}^{2}$=2×$\sqrt{7}×（-\frac{5}{2\sqrt{7}}）$+$\frac{7}{3}$=$-\frac{8}{3}$；
故答案为：$-\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理解三角形、向量的三角形法则以及平面向量的数量积的计算；关键是求出B的余弦值，注意向量的夹角与三角形内角的关系．