题目内容

9.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中D称为f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a•($\frac{1}{2}$)x+($\frac{1}{4}$)x
(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否有上界,请说明理由.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围;
(3)试定义函数的下界,举一个下界为3的函数模型,并进行证明.

分析 (1)将a=1代入函数表达式,通过换元法转化为关于t的二次函数,结合二次函数的性质以及有界函数的定义进行判断即可;
(2)问题转化为[-4•2x-${(\frac{1}{2})}^{x}$]max≤a≤[2•2x-${(\frac{1}{2})}^{x}$]min,分别求出其最大值和最小值即可;
(3)结合上界函数的定义类比即可.

解答 解:(1)当a=1时,f(x)=1+${(\frac{1}{2})}^{x}$+${(\frac{1}{4})}^{x}$,
令t=${(\frac{1}{2})}^{x}$t>1,
则f(x)=g(t)=t2+t+1=${(t+\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{3}{4}$,
∵g(t)在(1,+∞)上单调递增,∴g(t)>g(1),
即f(x)在(-∞,0)上的值域为(3,+∞),
故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,
所以函数f(x)在(-∞,1)上不是有界函数.
(2)由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立.
∴-3≤f(x)≤3,-4-${(\frac{1}{4})}^{x}$≤a•${(\frac{1}{2})}^{x}$≤2-${(\frac{1}{4})}^{x}$,
∴-4•2x-${(\frac{1}{2})}^{x}$≤a≤2•2x-${(\frac{1}{2})}^{x}$在[0,+∞)上恒成立,
即[-4•2x-${(\frac{1}{2})}^{x}$]max≤a≤[2•2x-${(\frac{1}{2})}^{x}$]min
设 2x=t,则-4t-$\frac{1}{t}$≤a≤2t-$\frac{1}{t}$,
设h(t)=-4t-$\frac{1}{t}$,p(t)=2t-$\frac{1}{t}$,
由x∈[0,+∞) 得 t≥1.设1≤t1<t2
则h(t1)-h(t2)=$\frac{({{t}_{2}-t}_{1})({{4t}_{1}t}_{2}-1)}{{{t}_{1}•t}_{2}}$>0,
p(t1)-p(t2)=$\frac{{(t}_{1}{-t}_{2})({{2t}_{1}t}_{2}+1)}{{{t}_{1}•t}_{2}}$<0,
所以,h(t)在[1,+∞)上递减,p(t)在[1,+∞)上递增,
故h(t)在[1,+∞)上的最大值为h(1)=-5,p(t)在[1,+∞)上的最小值为
p(1)=1,
所以,实数a的取值范围为[-5,1];
(3)定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≥M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为f(x)的下界,
例如:y=x2+3.

点评 本题考查了新定义问题,考查函数的单调性、最值问题,是一道中档题.

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