题目内容

【题目】已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2)求使f(x)≥3成立的x的取值集合.

【答案】
(1)解:函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x

=sin2x+cos2x+2sinxcosx+2cos2x

=1+sin2x+1+cos2x

= sin(2x+ )+2,

∴f(x)的最小正周期为T= =π;

+2kπ≤2x+ +2kπ,k∈Z,

解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,

∴f(x)的单调递减区间是:[ +kπ, +kπ],k∈Z;


(2)解:∵f(x)≥3,∴ sin(2x+ )+2≥3,

解得sin(2x+ )≥

+2kπ≤2x+ +2kπ,k∈Z,

解得kπ≤x≤ +kπ,k∈Z;

所求的集合为:[kπ, +kπ],k∈Z.


【解析】(1)利用三角恒等变换化简f(x),根据正弦函数的图象与性质求出f(x)的最小正周期和单调减区间;(2)利用f(x)的解析式,解三角函数不等式即可.

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