题目内容
【题目】已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2)求使f(x)≥3成立的x的取值集合.
【答案】
(1)解:函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x
=sin2x+cos2x+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
= sin(2x+ )+2,
∴f(x)的最小正周期为T= =π;
令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递减区间是:[ +kπ, +kπ],k∈Z;
(2)解:∵f(x)≥3,∴ sin(2x+ )+2≥3,
解得sin(2x+ )≥ ,
∴ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
解得kπ≤x≤ +kπ,k∈Z;
所求的集合为:[kπ, +kπ],k∈Z.
【解析】(1)利用三角恒等变换化简f(x),根据正弦函数的图象与性质求出f(x)的最小正周期和单调减区间;(2)利用f(x)的解析式,解三角函数不等式即可.