题目内容

【题目】已知函数f(x)= ,g(x)=f(x)﹣a
(1)当a=2时,求函数g(x)的零点;
(2)若函数g(x)有四个零点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,记g(x)得四个零点分别为x1 , x2 , x3 , x4 , 求x1+x2+x3+x4的取值范围.

【答案】
(1)解:当x>0时,由|lnx|=2解得x=e2或x=

当x≤0时,由x2+4x+1=2解得x=﹣2+ (舍)或x=﹣2﹣

∴函数g(x)有三个零点,分别为x=e2或x= ,x=﹣2﹣


(2)解:函数g(x)=f(x)﹣a的零点个数即f(x)的图象与c的图象的交点个数,

作函数f(x)的图象y=a的图象,结合两函数图象可知,

函数g(x)有四个零点时a的取值范围是0<a≤1;


(3)解:不妨设x1<x2<x3<x4,结合图象知x1+x2=﹣4且0<x3<1,x4>1,

由|lnx3|=|lnx4|=a,知x3x4=1且x4∈(1,e],

∴x3+x4= +x4∈(2,e+ ],

故x1+x2+x3+x4的取值范围是∈(﹣2,e+ ﹣4]


【解析】(1)根据函数零点的定义解方程即可.(2)利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题,利用数形结合进行判断求解.(3)根据函数图象结合函数的对称性进行判断即可.

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