Question

【题目】已知函数f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a≥0）
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在区间（0，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，

故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）

（2）解： ， ，

①当a=0时，由（1）知f（x）在（0，2]上单调递增，

故在（0，2]上f（x）max=f（2）=2ln2﹣2，

②当 时， ，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；

故f（x）在（0，2]上单调递增，

故在（0，2]上f（x）max=f（2）=2ln2﹣2a﹣2，

③当 时， ，在区间 上，f'（x）＞0；

在区间 上，f'（x）＜0，

f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，

故在（0，2]上

【解析】（1）a=0时，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．