Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=（﹣x2+ax）ex ， （x∈R，e为自然对数的底数）
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间．
（2）函数f（x）是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）ex，

∴f′（x）=﹣（x2﹣2）ex

令f′（x）＞0，得x2﹣2＜0，

∴﹣ ＜x＜

∴f（x）的单调递增区间是（﹣ ， ）

（2）解：∵f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex，

记g（x）=﹣x2+（a﹣2）x+a，

∴△=（a﹣2）2+4a=a2+4＞0，

∴x∈R时，g（x）的值有正有负，

而x∈R时，ex＞0恒成立，

于是x∈R时，f′（x）的值有正有负，

故函数f（x）的不是R上的单调函数

【解析】（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间，（2），求导函数，判断出f′（x）的值有正有负，故函数f（x）的不是R上的单调函数．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．