题目内容

8.已知集合A={x|$\frac{2x+1}{x+2}$<1,x∈R},函数f(x)=|mx+1|(m∈R),函数g(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞).
(1)若不等式f(x)≤3的解集为A,求m的值;
(2)在(1)的条件下,若|f(x)-2f($\frac{x}{2}$)|≤k恒成立,求k的取值范围;
(3)若关于x的不等式g(x)<c的解集为(m,m+6),求实数c的值.

分析 (1)先解出集合A=(-2,1),讨论m的取值来解绝对值不等式|mx+1|≤3,根据该不等式解集为A即可求得m=2;
(2)根据绝对值不等式||a|-|b||≤|a-b|即可求出|f(x)-2f($\frac{x}{2}$)|的最大值,而要使|f(x)-2f($\frac{x}{2}$)|≤k恒成立,只要该函数最大值小于等于k,从而求出k的范围;
(3)首先根据二次函数g(x)的值域为[0,+∞)即可得到$b=\frac{{a}^{2}}{4}$,这样得到g(x)=${x}^{2}+ax+\frac{{a}^{2}}{4}$,这样根据g(x)<c的解集为(2,8),说明2,8是方程g(x)-c=0的实数根,从而由韦达定理即可求出c.

解答 解:(1)A=(-2,1);
由f(x)≤3得;
|mx+1|≤3;
∴-4≤mx≤2;
①若m=0,f(x)≤3的解集为R,不为集合A,即这种情况不存在;
②若m>0,由-4≤mx≤2得,$-\frac{4}{m}≤x≤\frac{2}{m}$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{m}=-2}\\{\frac{2}{m}=1}\end{array}\right.$;
∴解得m=2;
③若m<0,由-4≤mx≤2得,$\frac{2}{m}≤x≤-\frac{4}{m}$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{m}=-2}\\{-\frac{4}{m}=1}\end{array}\right.$;
解得m∈∅,即这种情况不存在;
∴m=2;
(2)|f(x)-2f($\frac{x}{2}$)|=||2x+1|-2|x+1||≤|2x+1-2x-2|=1;
即|f(x)-2$f(\frac{x}{2})$|的最大值为1;
∴若$|f(x)-2f(\frac{x}{2})|≤k$恒成立,则:1≤k,即k≥1;
∴k的取值范围为[1,+∞);
(3)由g(x)的值域为[0,+∞)得:
△=a2-4b=0;
∴$b=\frac{{a}^{2}}{4}$;
∴由g(x)<c得:
${x}^{2}+ax+\frac{{a}^{2}}{4}-c<0$,该不等式解集为(2,8);
∴根据韦达定理$\left\{\begin{array}{l}{2+8=-a}\\{2×8=\frac{{a}^{2}}{4}-c}\end{array}\right.$;
∴c=9.

点评 考查解分式不等式,解绝对值不等式,绝对值不等式||a|-|b||≤|a-b|的运用,二次函数值域为[0,+∞)时△的取值情况,清楚一元二次不等式的解和对应一元二次方程解的关系,以及韦达定理的运用.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网