题目内容

18．已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m＞0）在x=1时有极值．
（1）求m的值；
（2）求y=f（x）的单调区间．

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，由f′（1）=0，求出m的值即可；（2）由（1）求出y=f（x）的表达式，通过求导得到函数的单调区间．

解答 解：（1）由题可得f′（x）=3x2+2mx-m2，
则f′（1）=0，即m2-2m-3=0所以m=3或m=-1，又m＞0，故m=3；
（2）由（1）知，f（x）=x3+3x2-9x+1，
则f′（x）=3x2+6x-9，
令f′（x）≥0，解得：x≥1或x≤-3，
令f′（x）≤0，解得：-3≤x≤1，
∴y=f（x）在[-3，1]上递减，在（-∞，-3），（1，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道中档题．

练习册系列答案
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（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）在[-3，1]上的单调区间和最大值．
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