Question

18．在△ABC中，E为AC上一点，且$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，P为BE上一点，且$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$取最小值时，向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）的模为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{6}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意和平面向量基本定理可得m和n的关系，由基本不等式可得式子取最小值时的m和n的值，由向量的模长公式可得．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，∴$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AE}$，
又∵P为BE上一点，不妨设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BE}$，（0＜λ＜1），
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$）
=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AE}$，
∴m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AE}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AE}$，
∵$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$不共线，∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{4n=λ}\end{array}\right.$，∴m+4n=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（m+4n）=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$
≥5+2$\sqrt{\frac{4n}{m}•\frac{m}{n}}$=9
当且仅当$\frac{4n}{m}$=$\frac{m}{n}$即m=$\frac{1}{3}$且n=$\frac{1}{6}$时，上式取到最小值，
∴向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）的模|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{6}$
故选：C

点评 本题考查基本不等式和平面向量基本定理以及向量的模长公式，属中档题．