钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼.避风.休息的场所.被誉为深海中的翡翠．某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试.用“10分制以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度.分数以小数点前的一位数字为茎.小数点后的一位数字为叶．(1)指出这组数据的众数和中位数,(2)若所得分数不低于9.5分.则称该学生� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠．某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试，用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度，分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若所得分数不低于9.5分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”．求从这16人中随机选取3人，求至多有1人“非常了解”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据，若从该所学校（人数可视为很多）任选3人，记ξ表示抽到“非常了解”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

分析（1）利用茎叶图的数据得出众数：8.6；中位数：$\frac{8.7+8.8}{2}$=8.75，
（2）判断出概率类型为古典类型，运用排列知识求解即可P（A）=P（A₀）+P（A₁）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$$+\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$
（3）方法1：判断运用对立重复试验，求解概率，得出分布列，求解数学期望即可．
方法2：直接运用则ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），得出数学期望E（ξ）=3×$\frac{1}{4}$．

解答解：（1）众数：8.6；中位数：$\frac{8.7+8.8}{2}$=8.75，
（2）设A_i表示所取3人中有i个人对钓鱼岛“非常了解”，至多有1人对钓鱼岛“非常了解”记为事件A，
则P（A）=P（A₀）+P（A₁）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$$+\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{121}{140}$；
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$；P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{4}$×（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{27}{64}$；
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{64}$；P（ξ=3）=（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

E（ξ）=0×$\frac{27}{64}$$+1×\frac{27}{64}$$+2×\frac{9}{64}$$+3×\frac{1}{64}$=0.27，
另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），
P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}$×（$\frac{1}{4}$）^k×（$\frac{3}{4}$）^3-k．
所以E（ξ）=3×$\frac{1}{4}$=0.75．

点评本题考查了离散型的概率分布问题，数学期望的求解，考查了学生的阅读分析能力，计算能力，属于中档题．