Question

12．设三位数n=$\overline{abc}$（即n=100a+10b+c，其中a，b，c∈N^*），若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（　　）

• A． 45个
• B． 81个
• C． 165个
• D． 216个

Answer 1

分析 先考虑等边三角形情况，则a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此时n有9个，再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b，列举出所有的情况，注意去掉不能构成三角形的结果，交换腰和底的位置，求和得到结果．

解答 解：由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，
先考虑等边三角形情况
则a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此时n有9个
再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b
当a=b=1时，c＜a+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；
当a=b=2时，c＜4，则c=1，3（c=2的情况等边三角形已经讨论了），此时n有2个；
当a=b=3时，c＜6，则c=1，2，4，5，此时n有4个；
当a=b=4时，c＜8，则c=1，2，3，5，6，7，有6个；
当a=b=5时，c＜10，有c=1，2，3，4，6，7，8，9，有8个；
由加法原理知n有2+4+6+8+8+8+8+8=52个
同理，若a，c是腰时，c也有52个，b，c是腰时也有52个
所以n共有9+3×52=165个
故选C．

点评 本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是根据所给的条件不重不漏的列举出所有的结果，注意数字要首先能够构成三角形，即满足两边之和大于第三边，本题是一个易错题．