题目内容

已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0).动点P满足
AP
BP
=k|
PC
|2.(其中k为常数)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型.
考点:轨迹方程
专题:综合题,直线与圆
分析:根据题意,给出
AP
=(x,y-1),
BP
=(x,y+1),
PC
=(1-x,-y),由
AP
BP
=k|
PC
|2建立关于x、y的方程,化简得(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-(k+1)=0.根据k是否等于1讨论,可得方程所表示的曲线类型.
解答: 解:(1)设动点P(x,y),可得
AP
=(x,y-1),
BP
=(x,y+1),
PC
=(1-x,-y),
AP
BP
=k|
PC
|2
∴x2+y2-1=k(x-1)2+ky2
化简得(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-(k+1)=0
①当k=1时,方程为x=1,表示直线;…5分
②当k≠1时,方程为(x-
k
k-1
)2+y2=(
1
k-1
)2

方程表示(
k
k-1
,0)为圆心、
1
|k-1|
为半径的圆.
点评:本题给出动点P满足的条件,求P的轨迹方程,并求向量模的取值范围.着重考查了向量的坐标运算、向量数量积的运算性质和动点轨迹方程求法等知识,属于中档题.
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