题目内容

已知抛物线C:y2=2x
(1)求抛物线C上点P到B(-
1
2
,1)
的距离与P到直线x=-
1
2
的距离之和的最小值;
(2)直线y=x-b与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB,O为坐标原点,求b的值.
考点:抛物线的简单性质
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(1)根据抛物线的方程求出焦点F的坐标、准线方程,利用抛物线的定义将所求的而距离和进行转化,利用三角形三边的关系求出最小值;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y,2),联立直线方程和抛物线方程消去y得到关于x的方程,利用韦达定理求出x1+x2、x1x2以及b的范围,利用向量垂直的条件和数量积的运算列出方程,求出b的值.
解答: 解:(1)由抛物线C:y2=2x得,焦点F(
1
2
,0)、准线方程x=-
1
2

由抛物线的定义得,P到直线x=-
1
2
的距离d=|PF|,
所以|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|=
2

即所求的最小值是
2

(2)设A(x1,y1),B(x2,y,2),
y2=2x
y=x-b
得,x2-(2b+2)x+b2=0,
所以△=(2b+2)2-4b2=8b+4>0,得b>-
1
2

x1+x2=2b+2,x1x2=b2
由OA⊥OB得,
OA
0B
=0,即x1x2+y1y2=0,
x1x2+(x1-b)(x2-b)=0,
2x1x2-b(x1+x2)+b2=0
所以2b2-b(2b+2)+b2=0,即b2-2b=0,
解得b=0或b=2,
又b≠0,所以b=2.
点评:本题考查抛物线的方程以及定义,向量垂直的条件和数量积的运算,以及设而不求思想,考查化简计算能力.
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