题目内容

已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程x2-2nx+anan+1=0 (n∈N*)的两实根,且a1=1,记数列{an}的前n项和为Sn
(1)求a2,a3
(2)求证:数列{an-
1
3
×2n}
是等比数列;
(3)设bn=anan+1,问是否存在常数λ,使得bn>λSn对?n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范围,若不存在,请说明理由.
考点:等比数列的性质,数列的函数特性
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)由韦达定理可得an+an+1=2n,由a1=1可求得a2=1,a3=3;
(2)由等比数列的定义可知
an+1-
1
3
×2n+1
an-
1
3
×2n
为常数-1,可得结论;
(3)由(2)得an的通项公式,问题转化为对?n∈N*
1
9
[22n+1-(-2)n-1]-
λ
3
[2n+1-2-
(-1)n-1
2
]>0,(n∈N*)
都成立,分n为奇数和偶数分类讨论可得.
解答: 解:(1)∵an,an+1是关于x的方程x2-2nx+anan+1=0 (n∈N*)的两实根,
an+an+1=2n,又∵a1=1,∴a2=1,a3=3;
(2)∵
an+1-
1
3
×2n+1
an-
1
3
×2n
=
2n-an-
1
3
×2n+1
an-
1
3
×2n
=
-(an-
1
3
×2n)
an-
1
3
×2n
=-1

∴数列{an-
1
3
×2n}
是首项为a1-
2
3
=
1
3
,公比为-1的等比数列;
(3)由(2)得an-
1
3
×2n=
1
3
×(-1)n-1
an=
1
3
[2n-(-1)n]

Sn=a1+a2+…+an=
1
3
(2+22+23+…+2n)-
1
3
[(-1)+(-1)2+…+(-1)n]
=
1
3
[2n+1-2-
(-1)n-1
2
]

bn=anan+1=
1
9
[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=
1
9
[22n+1-(-2
)
n
 
-1]

要使bn>λSn,对?n∈N*都成立,
1
9
[22n+1-(-2)n-1]-
λ
3
[2n+1-2-
(-1)n-1
2
]>0,(n∈N*)
(*),
①当n为正奇数时,由(*)式得:
1
9
[22n+1+2n-1]-
λ
3
(2n+1-1)>0

1
9
(2n+1-1)(2n+1)-
λ
3
(2n+1-1)>0
,∵2n+1-1>0,∴λ<
1
3
(2n+1)
对任意正奇数n都成立,
1
3
(2n+1)(n
为正奇数)的最小值为1.∴λ<1;
②当n为正偶数时,由(*)式得:
1
9
(22n+1-2n-1]-
λ
3
(2n+1-2)>0

1
9
(22n+1+1)(2n-1)-
3
(2n-1)>0
,∵2n-1>0,∴λ<
1
6
(2n+1+1)
对任意正偶数n都成立,
1
6
(2n+1+1)(n
为正偶数)的最小值为
3
2
.∴λ<
3
2

综上所述得,存在常数λ,使得bn>λSn对?n∈N*都成立,λ的取值范围为(-∞,1)
点评:本题考查等比数列的性质,涉及等比数列的判断和分类讨论以及恒成立问题,属中档题.
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