Question

8．已知直线l经过点 P（-1，1），倾斜角α的正切值是$\frac{3}{4}$，圆C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}}$）．
（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）求圆心C到直线l的距离．

Answer 1

分析 （1）由tanα=$\frac{3}{4}$，可得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$．又直线l经过点 P（-1，1），即可得出直线l的参数方程；圆C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}}$），利用和差公式展开再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（1）由tanα=$\frac{3}{4}$，可得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$．又直线l经过点 P（-1，1），
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{4}{5}t}\\{y=1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
圆C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}}$），展开可得：${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρ（\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ）$，
∴直角坐标方程为：x²+y²=x+y，配方为$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{4}{5}t}\\{y=1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：3x-4y+7=0．
∴圆心$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$到直线l的距离d=$\frac{|\frac{1}{2}×3-\frac{1}{2}×4+7|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{13}{10}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．