Question

15．现有四个不同的球，4个不同的大盒子，要把球全部放入盒内．（每个盒子都可以放多个球）
（1）共有几种放法？
（2）恰有1个盒不放球，共几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共几种放法？
（4）恰有1个盒内有2个球，共几种放法？
（5）有1个盒内部少于3个球，共几种放法？

Answer 1

分析 （1）每个球都有4种方法，故根据分步计数原理可求
（2）由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
（3）四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球的不同放法的求法，分为两步来求解，先把四个球分为两组，再取两个盒子，作全排列，由于四个球分两组有两种分法，一种是2，2，另一种是3，1，故此题分为两类来求解，再求出它们的和；
（4）“恰有一个盒内有2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，
（5）1个盒内部少于3个球，反之是有1个盒内部等于3个球，有C₄¹A₄³C₃¹=144种，没有限制条件的放法为256种，问题得以解决．

解答 解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4=256种 
（2）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C₄²A₄³=144种不同的放法．
 （3）四个球分为两组有两种分法，（2，2），（3，1）
若两组每组有两个球，不同的分法有3种，恰有两个盒子不放球的不同放法是3×A₄²=36种
若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有C₄³=4种恰有两个盒子不放球的不同放法是4×A₄²=48种
综上恰有两个盒子不放球的不同放法是36+48=84；
（4）“恰有一个盒内有2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，共有C₄²A₄³=144种放法，
（5）有1个盒内部少于3个球，反之是有1个盒内部等于3个球，有C₄¹A₄³C₃¹=144种，
每个球都有4种方法，故有4×4×4×4=256种，
故有1个盒内部少于3个球为256-144=112种，

点评 本题考查察排列、组合的实际应用，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．理解事件“四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球”，宜先将四个球分为两组，再放入，分步求不同的放法种数．