Question

7．给出下列等式：
1²=1
1²+2²=$\frac{1}{6}$×2×3×5
1²+2²+3²=$\frac{1}{6}$×3×4×7
1²+2²+3²+4²=$\frac{1}{6}$×4×5×9
1²+2²+3²+4²+5²=$\frac{1}{6}$×5×6×11
…
则按照此规律可以猜想第n个等式为1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 根据题中式子各边的规律进行归纳猜想，即可得出第n个等式．

解答 解：1²=1，
1²+2²=$\frac{1}{6}$×2×3×5，
1²+2²+3²=$\frac{1}{6}$×3×4×7，
1²+2²+3²+4²=$\frac{1}{6}$×4×5×9，
1²+2²+3²+4²+5²=$\frac{1}{6}$×5×6×11，…
由以上可得从第二个式子左边是连续数的平方和，右边分别是$\frac{1}{6}$与三个数的乘积，
且这三个数分别构成三个数列是：2、3、4、5、6…；3、4、5、6…；5、7、9、11…，
照此规律，第n个等式可为：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
故答案为：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

点评 本题考查归纳推理，难点是根据已知的几个式子的特点发现其中的规律，注意从运算的过程中去寻找，考查观察、分析、归纳的能力，属于基础题．