Question

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足三点的圆与直线相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P（m，0），求实数m的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）连接，因为，可得      (1)
又因为的外接圆与直线相切，所以有    (1)
解由(1)(2)组成的方程组可得椭圆的标准方程.
（2）由（1）椭圆的标准方程是,所以,设直线的方程为：，.由方程组：消去得,由韦达定理求出
的表达式,写出线段MN的垂直平分线的方程,并求出的表达式,进而用函数的方法求其取值范围,要注意直线斜率不存在及斜率为0情况的讨论.
解：（1）连接，因为，，所以，
即，则，.                  3分
的外接圆圆心为，半径    4分
由已知圆心到直线的距离为，所以，解得，所以，，
所求椭圆方程为.                          6分
（2）因为，设直线的方程为：，.
联立方程组：，消去得.  7分
则，，
的中点为.                       8分
当时，为长轴，中点为原点，则.          9分
当时，垂直平分线方程
令，所以 
因为，所以，可得，           12分
综上可得，实数的取值范围是                    13分