题目内容
已知点,的坐标分别为,.直线,相交于点,且它们的斜率之积是,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设是曲线上的动点,直线,分别交直线于点,线段的中点为,求直线与直线的斜率之积的取值范围;
(3)在(2)的条件下,记直线与的交点为,试探究点与曲线的位置关系,并说明理由.
(1)求曲线的方程;
(2)设是曲线上的动点,直线,分别交直线于点,线段的中点为,求直线与直线的斜率之积的取值范围;
(3)在(2)的条件下,记直线与的交点为,试探究点与曲线的位置关系,并说明理由.
(1)();(2);(3)点在曲线上.
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、点斜式求直线方程、中点坐标公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,设出P点坐标,利用斜率公式,求出直线AP、BP的斜率,计算得到曲线C的方程;第二问,设出Q点坐标,利用点斜式写出直线AQ的方程,它与x=4交于M,则联立得到M点坐标,同理得到N点坐标,利用中点坐标公式得到后,将Q点横坐标的范围代入直接得到所求范围;第三问,结合第二问得到直线AN和直线BM的方程,令2个方程联立,得到T点坐标,通过计算知T点坐标符合曲线C的方程,所以点T在曲线C上.
(1)设动点,则(且)
所以曲线的方程为(). 4分
(2)法一:设,则直线的方程为,令,则得,直线的方程为,
令,则得, 6分
∵ =
∴,∴ 8分
故
∵ ,∴,
∴,
∴,
∴直线与直线的斜率之积的取值范围为 10分
法二:设直线的斜率为,则由题可得直线的斜率为,
所以直线的方程为,令,则得,
直线的方程为,令,则得,
∴,
∴ 8分
故
∴直线与直线的斜率之积的取值范围为 10分
(3)法一:由(2)得,,
则直线的方程为,直线的方程为, 12分
由,解得即 12分
∴
∴ 点在曲线上. 14分
法二:由(2)得,
∴ , 12分
∴
∴ 点在曲线上. 14分
法三:由(2)得,,,
∴ , 12分
∴ ∴ 点在曲线上. 14分
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