Question

6．若函数f（x）在R上恒有f（x）=f（x+1）+f（x-1），且f（2）=2，求f（2015）的值．

Answer 1

分析 根据条件推导函数的周期性是，利用函数的周期性进行转化即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=f（x+1）+f（x-1），
∴f（x+1）=f（x+2）+f（x），
即两边相加f（x）=f（x-1）+f（x+2）+f（x），
即f（x+2）+f（x-1）=0，
即f（x+2）=-f（x-1），
即f（x+3）=-f（x），
即f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
在函数的周期是6，
则f（2015）=f（336×6-1）=f（-1）=-f（-1+3）=-f（2）=-2

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件推出函数的周期性是解决本题的关键．