题目内容
【题目】已知函数f(x)= (其中e是自然对数的底数,常数a>0).
(1)当a=1时,求曲线在(0,f(0))处的切线方程;
(2)若存在实数x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范围.
【答案】(1)切线方程为.(2)a的取值范围是(0,1].
【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得切线斜率,再根据点斜式求切线方程(2)先变量分离得 ,再利用导数求函数
最大值,即得a的取值范围.
试题解析:(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}.
当a=1时,f(x)=,f′(x)=
,
∴f(0)=-1,f′(0)=-2.
∴曲线在(0,f(0))处的切线方程为
2x+y+1=0.
(2)f′(x)=,
令f′(x)=0,x=a+1,
∴f(x)在(-∞,a),(a,a+1)上递减,
在(a+1,+∞)上递增.6分
若存在x∈(a,2],使不等式f(x)≤e2成立,只需在x∈(a,2]上,f(x)min≤e2成立.
①当a+1≤2,即0<a≤1时,f(x)min=f(a+1)=ea+1≤e2,
∴0<a≤1符合条件.10分
②当a+1>2,即1<a<2时,
f(x)min=f(2)=≤e2,解得a≤1,
又1<a<2,∴a∈.
综上,a的取值范围是(0,1].
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【题目】某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动,规则是每邀请一位好友在该平台注册,并购买至少1万元的12月定期,邀请人可获得现金及红包奖励,现金奖励为被邀请人理财金额的,且每邀请一位最高现金奖励为300元,红包奖励为每邀请一位奖励50元.假设甲邀请到乙、丙两人,且乙、丙两人同意在该平台注册,并进行理财,乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表:
理财金额 |
|
|
|
乙理财相应金额的概率 | |||
丙理财相应金额的概率 |
(1)求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率;
(2)若甲获得奖励为元,求
的分布列与数学期望.