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6.曲线y=ln(x-1)上的点到直线x-y+4=0的最短距离是(  )
A.2B.2$\sqrt{2}$C.3$\sqrt{2}$D.4$\sqrt{2}$

分析 设直线x-y+C=0是曲线y=ln(x-1)的切线且与直线x-y+4=0平行,利用导数的几何意义求出切点坐标,再由点到直线的距离公式,即可算出曲线y=ln(x-1)上的点到直线x-y+4=0的最短距离.

解答 解:设直线x-y+C=0与直线x-y+4=0平行,
且与曲线y=ln(x-1)相切,切点为P(m,ln(m-1)),
由y′=$\frac{1}{x-1}$
∴y'|x=m=1,即$\frac{1}{m-1}$=1,可得m=2,
故切点为P(2,0)
求得P到直线x-y+4=0的距离d=$\frac{2+4}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$,
即曲线y=ln(x-1)上的点到直线x-y+4=0的最短距离是3$\sqrt{2}$,
故选:C

点评 本题求曲线上动点到直线的最短距离,着重考查了点到直线的距离公式和导数的几何意义等知识,属于基础题.

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