题目内容

15.已知直线l过点M(1,1),并且与直线2x+4y+9=0平行.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线l与圆x2+y2+x-6y+m=0相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.

分析 (1)先求与直线2x+y-5=0平行的直线的斜率,再根据其过点(1,-3),用点斜式求直线方程;
(2)先将直线与圆的方程联立,得到5y2-20y+12+m=0,再由韦达定理分别求得y1•y2=$\frac{12+m}{5}$,又因为OP⊥OQ,转化为x1•x2+y1•y2=0求解.

解答 解:(1)∵直线2x+4y+9=0的斜率k=-$\frac{1}{2}$,
∴所求直线斜率k′=-$\frac{1}{2}$.
故过点(1,1)且与已知直线平行的直线为y-1=-$\frac{1}{2}$(x-1),
即x+2y-3=0.
(2)设P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
由OP⊥OQ可得:$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$,即$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0,
所以x1•x2+y1•y2=0.
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x2+y2+x-6y+m=0
化简得:5y2-20y+12+m=0,
∴y1+y2=4,y1•y2=$\frac{12+m}{5}$.
∴x1•x2+y1•y2=(3-2y1)•(3-2y2)+y1•y2=9-6(y1+y2)+5y1•y2
=9-6×4+5×$\frac{12+m}{5}$=m-3=0
解得:m=3.

点评 本题考查直线的平行关系,直线的点斜式方程,考查直线与圆的位置关系其其方程的应用,应用了韦达定理,体现了数形结合的思想,是常考题型,属中档题.

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