题目内容
12.已知正项等比数列{an}的首项是2,第2项与第3项的和是12.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an•log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
分析 (1)通过2q+2q2=12可知公比q=2,进而可得结论;
(2)通过an=2n可知bn=n•2n,利用错位相减法计算即得结论.
解答 解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
∵a1=2,∴a2=2q,a3=2q2,
又∵第2项与第3项的和是12,
∴2q+2q2=12,
解得q=2或q=-3(舍),
∴an=2•2n-1=2n;
(2)∵an=2n,
∴bn=2n•log22n=n•2n,
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n,
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1,
两式相减得:-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
=$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n+1
=(1-n)•2n+1-2,
∴Sn=2+(n-1)•2n+1.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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