Question

14．F₁（-4，0）、F₂（4，0）是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$（m＞0）的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且∠F₁MF₂=60°，则△F₁MF₂的面积为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出m，再设出|MF₁|=m′，|MF₂|=n，利用双曲线的定义以及余弦定理列出关系式，求出m′n的值，最后求解三角形的面积．

解答 解：∵F₁（-4，0）、F₂（4，0）是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$（m＞0）的两个焦点，
∴m+4=16，
∴m=12，
设|MF₁|=m′，|MF₂|=n，
∵点M是双曲线上一点，且∠F₁MF₂=60°，
∴|m′-n|=4$\sqrt{3}$①，m′²+n²-2m′ncos60°=64②，
由②-①²得m′n=16
∴△F₁MF₂的面积S=$\frac{1}{2}$m′nsin60°=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，双曲线的定义以及余弦定理的应用，考查计算能力．