题目内容
已知函数f(x)=-x3-ax2+b2x+1(a、b∈R).
(1)若a=1,b=1,求f(x)的极值和单调区间;
(2)已知x1,x2为f(x)的极值点,且|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,若当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒小于m,求m的取值范围
(1)若a=1,b=1,求f(x)的极值和单调区间;
(2)已知x1,x2为f(x)的极值点,且|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,若当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒小于m,求m的取值范围
(1)f(x)=-x3-x2+x+1,f′(x)=-3x2-2x+1
=-(3x-1)(x+1).
f(x)的极大值为,极小值为0.
f(x)的单调增区间为,单调减区间为(-∞,-1),.
(2)∵f(x)=-x3-ax2+b2x+1,
∴f′(x)=-3x2-2ax+b2,又x1,x2为f(x)的极值点,
∴x1,x2为方程-3x2-2ax+b2=0的两根,
x1+x2=-,x1x2=-,
∵|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,
∴|-x-ax+b2x1+1+x+ax-b2x2-1|=|x1-x2|,
整理得|x+x1x2+x+a(x1+x2)-b2|=,
即=,
∴a2+3b2=1,∴a2≤1.
∵k=f′(x)=-3x2-2ax+b2=-3x2-2ax+,
f′(x)max=f′=,
∴m>.
=-(3x-1)(x+1).
x | (-∞,-1) | -1 | (-1,) | (,+∞) | |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | 减 | 极小 值0 | 增 | 极大 值 | 减 |
f(x)的单调增区间为,单调减区间为(-∞,-1),.
(2)∵f(x)=-x3-ax2+b2x+1,
∴f′(x)=-3x2-2ax+b2,又x1,x2为f(x)的极值点,
∴x1,x2为方程-3x2-2ax+b2=0的两根,
x1+x2=-,x1x2=-,
∵|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,
∴|-x-ax+b2x1+1+x+ax-b2x2-1|=|x1-x2|,
整理得|x+x1x2+x+a(x1+x2)-b2|=,
即=,
∴a2+3b2=1,∴a2≤1.
∵k=f′(x)=-3x2-2ax+b2=-3x2-2ax+,
f′(x)max=f′=,
∴m>.
略
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