题目内容
(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
函数,其图象在处的切线方程为.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数的图象与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围;
(Ⅲ)是否存在点P,使得过点P的直线若能与曲线围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积相等?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
函数,其图象在处的切线方程为.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数的图象与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围;
(Ⅲ)是否存在点P,使得过点P的直线若能与曲线围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积相等?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)由题意得,且,
∴即解得,,
∴.······················· 4分
(Ⅱ)由,可得,
,
则由题意可得有三个不相等的实根,
即的图象与轴有三个不同的交点,
,则的变化情况如下表.
则函数的极大值为,极小值为.······ 6分
的图象与的图象有三个不同交点,则有:
解得.·················· 8分
(Ⅲ)存在点P满足条件.························· 9分
∵,∴,由,得,.当时,;当时,;当时,.可知极值点为,,线段AB中点在曲线上,且该曲线关于点成中心对称.证明如下:∵,∴
,∴.
上式表明,若点为曲线上任一点,其关于的对称点也在曲线上,曲线关于点对称.故存在点,使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形,这两个封闭图形的面积相等.………………12分
∴即解得,,
∴.······················· 4分
(Ⅱ)由,可得,
,
则由题意可得有三个不相等的实根,
即的图象与轴有三个不同的交点,
,则的变化情况如下表.
4 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
的图象与的图象有三个不同交点,则有:
解得.·················· 8分
(Ⅲ)存在点P满足条件.························· 9分
∵,∴,由,得,.当时,;当时,;当时,.可知极值点为,,线段AB中点在曲线上,且该曲线关于点成中心对称.证明如下:∵,∴
,∴.
上式表明,若点为曲线上任一点,其关于的对称点也在曲线上,曲线关于点对称.故存在点,使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形,这两个封闭图形的面积相等.………………12分
略
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