题目内容

在△ABC中,已知B(-2,0)、C(2,0),ADBC于点D,△ABC的垂心为H,且=.

(1)求点H(x,y)的轨迹G的方程;
(2)已知P(-1,0)、Q(1,0),M是曲线G上的一点,那么,,能成等差数列吗?若能,求出M点的坐标;若不能,请说明理由.
(1) G的方程为+=1(y≠0).(2)见解析
(1)∵H点坐标为(x,y),则D点坐标为(x,0),
由定比分点坐标公式可知,A点的坐标为(x,y).
=(x+2,y),=(x-2,y).
BHCAx2-4+y2=0,即+ =1,
G的方程为+=1(y≠0).
(2)解法一:显然PQ恰好为G的两个焦点,
∴||+||=4,||=2.
,,成等差数列,则+==1.
∴||·||="|" |+||=4.
可得||=||=2,
M点为+=1的短轴端点.
∴当M点的坐标为(0, )或(0,-)时,,,成等差数列.
解法二:设M点的坐标为(x,y),
显然PQ恰好为+ =1的两个焦点,
∴||+||="4,|" |=2.
,,成等差数列,
+==1.
由椭圆第二定义可得||=a+ex,||=aex,
+=1.解得x=0.
M点的坐标为(0, )或(0,-).
∴当M点的坐标为(0, )或(0,-)时,,,成等差数列.
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