题目内容




平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.
(1)求证:

(2)求二面角A-SD-P的大小.
(1)见解析
(2)二面角A-SD-P的大小为
(2)二面角A-SD-P的大小为

(1)因为
底面
,
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=
,……………………….2分
又因为AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以
.………….…….3分
因为SA⊥底面ABCD,
平面ABCD,
所以SA⊥PD, …………….……………………….…....4分
由于SA∩AP=A 所以
平面SAP.…………………………….5分
(2)设Q为AD的中点,连结PQ, ………………….………6分
由于SA⊥底面ABCD,且SA
平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD….7分
因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,
由三垂线定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角. …9分
容易证明△DRQ∽△DAS,则
因为DQ= 1,SA=1,
,所以
….……….10分
在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,所以
………11分
所以二面角A-SD-P的大小为
.……………….…….…….12分
或:过A在平面SAP内作
,且垂足为H,在平面SAD内作
,且垂足为E,连接HE,
平面SAP。
平面SPD…………7分
∴HE为AE在平面SPD内的射影,∴由三垂线定理得
从而
是二面角A-SD-P的平面角……………………………….9分
在
中,
,在
中,
,

. ………………………………….11分
即二面角
的大小为
……………………………12分
解法二:因为
底面
,
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………………………1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1
建立空间直角坐标系(如图)
由已知,P为BC中点.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
(1)易求得
,
,
..………….…....3分
因为
,
=0。
所以
,
由于AP∩SP=P,所以
平面SAP ………….……………..….…5分
(2)设平面SPD的法向量为
由
,得
解得
,
所以
……………….…………….……….8分
又因为AB⊥平面SAD,所以
是平面SAD的法向量,易得
…9分
所以
….………………….11分
所求二面角
的大小为
. ……………….……….…… 12分


所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=

又因为AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以

因为SA⊥底面ABCD,

所以SA⊥PD, …………….……………………….…....4分
由于SA∩AP=A 所以


由于SA⊥底面ABCD,且SA

因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,
由三垂线定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角. …9分
容易证明△DRQ∽△DAS,则

因为DQ= 1,SA=1,


在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,所以

所以二面角A-SD-P的大小为

或:过A在平面SAP内作






∴HE为AE在平面SPD内的射影,∴由三垂线定理得

从而

在






即二面角


解法二:因为


所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………………………1分

建立空间直角坐标系(如图)
由已知,P为BC中点.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
(1)易求得



因为


所以


由于AP∩SP=P,所以

(2)设平面SPD的法向量为

由



所以

又因为AB⊥平面SAD,所以


所以

所求二面角



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