题目内容

椭圆C1的焦点在x轴上,中心是坐标原点O,且与椭圆C2
x2
12
+
y2
4
=1
的离心率相同,长轴长是C2长轴长的一半.A(3,1)为C2上一点,OA交C1于P点,P关于x轴的对称点为Q点,过A作C2的两条互相垂直的动弦AB,AC,分别交C2于B,C两点,如图.

(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)求Q点坐标;
(3)求证:B,Q,C三点共线.
(1)由椭圆C2
x2
12
+
y2
4
=1
可知:长轴长为4
3
,离心率是
6
3

∴椭圆C1a=
3
c=
2
,b2=a2-c2=1,
∴椭圆C1的标准方程为
x2
3
+y2=1

(2)∵A(3,1)可得直线OA:y=
1
3
x

联立
y=
1
3
x
x2+3y2=3
解得第一象限P(
3
2
1
2
)
,可得Q(
3
2
,-
1
2
)

(3)当ABx轴时,AC⊥x轴,可得B(-3,1),C(3,-1).
QC
=(
3
2
,-
1
2
)
QB
=(-
9
2
3
2
)

QB
=-3
QC
,∴B,Q,C三点共线.
当直线AC存在斜率时,可设直线AC:y-1=k(x-3),化为y=kx+1-3k,
联立
y=kx+1-3k
x2+3y2=12
,消去y得到(3k2+1)x2+6k(1-3k)x+9(3k2-2k-1)=0,
得xC=
9k2-6k-3
3k2+1
,yC=kxC+1-3k=
-3k2-6k+1
3k2+1

kCQ=
-3k2-6k+1
3k2+1
+
1
2
9k2-6k-3
3k2+1
-
3
2
=
-k2-4k+1
3k2-4k-3

同理,以-
1
k
代替上式中的k,得kBQ=
-(-
1
k
)2-4(-
1
k
)+1
3(-
1
k
)2-4(-
1
k
)-3
=
-k2-4k+1
3k2-4k-3

∴kCQ=kBQ,即Q,B,C三点共线,
综上可知:Q,B,C三点共线.
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