题目内容
椭圆C1的焦点在x轴上,中心是坐标原点O,且与椭圆C2:
+
=1的离心率相同,长轴长是C2长轴长的一半.A(3,1)为C2上一点,OA交C1于P点,P关于x轴的对称点为Q点,过A作C2的两条互相垂直的动弦AB,AC,分别交C2于B,C两点,如图.
(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)求Q点坐标;
(3)求证:B,Q,C三点共线.
x2 |
12 |
y2 |
4 |
(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)求Q点坐标;
(3)求证:B,Q,C三点共线.
(1)由椭圆C2:
+
=1可知:长轴长为4
,离心率是
,
∴椭圆C1:a=
,c=
,b2=a2-c2=1,
∴椭圆C1的标准方程为
+y2=1.
(2)∵A(3,1)可得直线OA:y=
x.
联立
解得第一象限P(
,
),可得Q(
,-
).
(3)当AB∥x轴时,AC⊥x轴,可得B(-3,1),C(3,-1).
∴
=(
,-
),
=(-
,
),
∴
=-3
,∴B,Q,C三点共线.
当直线AC存在斜率时,可设直线AC:y-1=k(x-3),化为y=kx+1-3k,
联立
,消去y得到(3k2+1)x2+6k(1-3k)x+9(3k2-2k-1)=0,
得xC=
,yC=kxC+1-3k=
.
得kCQ=
=
.
同理,以-
代替上式中的k,得kBQ=
=
,
∴kCQ=kBQ,即Q,B,C三点共线,
综上可知:Q,B,C三点共线.
x2 |
12 |
y2 |
4 |
3 |
| ||
3 |
∴椭圆C1:a=
3 |
2 |
∴椭圆C1的标准方程为
x2 |
3 |
(2)∵A(3,1)可得直线OA:y=
1 |
3 |
联立
|
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
(3)当AB∥x轴时,AC⊥x轴,可得B(-3,1),C(3,-1).
∴
QC |
3 |
2 |
1 |
2 |
QB |
9 |
2 |
3 |
2 |
∴
QB |
QC |
当直线AC存在斜率时,可设直线AC:y-1=k(x-3),化为y=kx+1-3k,
联立
|
得xC=
9k2-6k-3 |
3k2+1 |
-3k2-6k+1 |
3k2+1 |
得kCQ=
| ||||
|
-k2-4k+1 |
3k2-4k-3 |
同理,以-
1 |
k |
-(-
| ||||
3(-
|
-k2-4k+1 |
3k2-4k-3 |
∴kCQ=kBQ,即Q,B,C三点共线,
综上可知:Q,B,C三点共线.
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