题目内容

已知椭圆mx2+ny2=1，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=
10
2
，求椭圆的方程．
依题意，点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的坐标满足方程组
mx2+ny2=1
y=x+1
，
化为（m+n）x2+2nx+n-1=0，
∴x1+x2=-
2n
m+n
，x1x2=
n-1
m+n

由
OQ
⊥
OP
得x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，即2x1x2+（x1+x2）+1=0，
∴
2(n-1)
m+n
-
2n
m+n
+1=0，化为m+n=2．
又由|PQ|=
10
2
，∴
10
2
=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2[(
-2n
m+n
)2-
4(n-1)
m+n
]
，
把m+n=2代入整理为4n2-8n+3=0，解得n=
3
2
或
1
2
．
当n=
3
2
时，m=
1
2
；当n=
1
2
时，m=
3
2
．
故所求椭圆方程为
x2
2
+
3y2
2
=1，或
3x2
2
+
y2
2
=1．
练习册系列答案
相关题目
椭圆C1的焦点在x轴上，中心是坐标原点O，且与椭圆C2：
x2
12
+
y2
4
=1的离心率相同，长轴长是C2长轴长的一半．A（3，1）为C2上一点，OA交C1于P点，P关于x轴的对称点为Q点，过A作C2的两条互相垂直的动弦AB，AC，分别交C2于B，C两点，如图．

（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）求Q点坐标；
（3）求证：B，Q，C三点共线．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为
2
2
，则
m
n
的值为（　　）
A．
2
2
B．
2
2
3
C．
9
2
2
D．
2
3
27
如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2．证明：
k1
k2
为定值．
已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x，且过点D(
2
，
3
)．l1，l2是过点P(-
2
，0)的两条互相垂直的直线，且l1，l2与双曲线各有两个交点，分别为A1，B1和A2，B2．
（1）求双曲线的方程；
（2）求l1斜率的范围
（3）若|A1B1|=
5
|A2B2|，求l1的方程．
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为
3
直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为4
3
．
（1）求抛物线的方程；
（2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标．
AB是过C：y2=4x焦点的弦，且|AB|=10，则AB中点的横坐标是______．
（文科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．

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