题目内容

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，
MF
=λ
FB
（λ＞0）
（1）若λ=1，求直线l斜率
（2）若点A、B在x轴上的射影分别为A1，B1且|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差数列求λ的值
（3）设已知抛物线为C1：y2=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C1′．圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C1′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C′1于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．
依题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y0，
则F（
p
2
，0）准线方程为x=-
p
2

直线l的方程为y=k（x-
p
2
），M（-
p
2
，y0），y2＞0
∵
MF
=λ
FB
，∴（p，-y0）=λ（x2-
p
2
，y0），故p=λ（x2-
p
2
）
（1）若λ=1，由p=λ（x2-
p
2
），y22=2px2，y2＞0，得x2=
3p
2
，y2=
3
p，
∴B（
3p
2
，
3
p）
∴直线l的斜率k=
3
p
3p
2
-
p
2
=
3
；
（2）直线l的方程代入y2=2px，消去y，可得k2x2-（k2p+2p）x+
k2p2
4
=0，则x1x2=
p2
4

∵x2=
p
λ
+
p
2
，∴x1=
p2
4x2
=
λp
2λ+4

∵|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差数列
∴2|
OF
|=|
B1F
|+2|
A1F
|，
∴(x2-
p
2
)+2(
p
2
-x1)=p
∴x2-2x1=
p
2

将x2=
p
λ
+
p
2
和x1=
λp
2λ+4
代入上式得
1
λ
=
λ
λ+2
，∴λ=2；
（3）设P（x0，x02），S（x1，x12），T（x2，x22），由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2．
设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k（x-x0），即y=kx-kx0+x02．①
则
|kx0+4-x02|
1+k2
=1，
即（x02-1）k2+2x0（4-x02）k+（x02-4）2-1=0．
设PS，PT的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，所以
k1+k2=
2x0(x02-4)
x02-1
，k1k2=
(x02-4)2-1
x02-1
．
将①代入y=x2，得x2-kx+kx0-x02=0，
由于x0是此方程的根，故x1=k1-x0，x2=k2-x0，
所以kST=
x12-x22
x1-x2
=x1+x2=k1+k2-2x0=
2x0(x02-4)
x02-1
-2x0，kNP=
x02-4
x0
．
由MP⊥AB，得kNP•kST=[
2x0(x02-4)
x02-1
-2x0]•
x02-4
x0
=-1，解得x02=
23
5
，
即点P的坐标为（±
23
5
，
23
5
），所以直线l的方程为y=±
3
115
115
x+4．
练习册系列答案
相关题目
设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则                       .
（本小题满分13分）已知点是椭圆上的一点，,是椭圆的两个焦点,且满足.(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;(Ⅱ)设点,是椭圆上的两点,直线,的倾斜角互补,试判断直线的斜率是否为定值?并说明理由.
椭圆C1的焦点在x轴上，中心是坐标原点O，且与椭圆C2：
x2
12
+
y2
4
=1的离心率相同，长轴长是C2长轴长的一半．A（3，1）为C2上一点，OA交C1于P点，P关于x轴的对称点为Q点，过A作C2的两条互相垂直的动弦AB，AC，分别交C2于B，C两点，如图．

（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）求Q点坐标；
（3）求证：B，Q，C三点共线．
已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使
PQ
=λ
AB
，请给出证明．
已知动点P（x，y）满足，
x2+y2-4x+6y+13
+
x2+y2+6x+4y+13
=
26
，则
y-1
x-3
取值范围（　　）
A．(-∞，
1
2
]∪[4，+∞)		B．(-∞，
1
4
]∪[2+∞)		C．[
1
2
，4]		D．[
1
4
，2]
（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）求x1x2与y1y2的值；
（2）求证：OA⊥OB．
已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x，且过点D(
2
，
3
)．l1，l2是过点P(-
2
，0)的两条互相垂直的直线，且l1，l2与双曲线各有两个交点，分别为A1，B1和A2，B2．
（1）求双曲线的方程；
（2）求l1斜率的范围
（3）若|A1B1|=
5
|A2B2|，求l1的方程．
抛物线y2=2px(p>0)与双曲线有相同焦点F，点A是两曲线交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为                                                                   （ ）
A．B．C．D．

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